怎么理解諧波分析（FFT）？本文將通過常用例子介紹傅立葉變化，以及計(jì)算過程中遇到幅值泄漏和柵欄效應(yīng)，加窗函數(shù)原則和最后修復(fù)幅值、頻率的基本原理，并給出其在高端測(cè)量?jī)x器中的應(yīng)用。

隨著技術(shù)的發(fā)展，數(shù)據(jù)越來(lái)越多樣化，不再以單一的形式存在，例如一段錄音可被分解成若干種信息，而快速傅立葉變化（簡(jiǎn)稱FFT）常常被應(yīng)用在數(shù)據(jù)的分解上，接下來(lái)我們講講FFT的原理。

什么是FFT？

快速傅立葉變化簡(jiǎn)稱FFT，其實(shí)FFT就是DFT（離散傅立葉變化）的一種快速算法，通過時(shí)間抽取或頻率抽取算法來(lái)加快變化過程，具體的算法就不在這里拓展，我們只要了解離散傅立葉變化即可。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假如手機(jī)里正在播放一首音樂，隨著時(shí)間的推移，歌曲是不是按照它的音符播放呢？若以高低音作為縱軸，時(shí)間左右橫軸建立直角坐標(biāo)得到（圖1-1），以音符作為橫軸建立直角坐標(biāo)得到（圖1-2）。

圖1 生活中FFT例子

我們稱圖1中圖1-1為時(shí)域，圖1-2稱為頻域，數(shù)據(jù)由時(shí)域轉(zhuǎn)換為頻域的過程我們稱為傅立葉轉(zhuǎn)換（圖2），由于轉(zhuǎn)換后的頻域數(shù)據(jù)是不連續(xù)的，所以為離散傅立葉轉(zhuǎn)換。其中轉(zhuǎn)換后得到的頻譜圖中頻率不為零且幅值最大的一般都是基波，也叫零次諧波。

圖2 時(shí)域到頻域

什么是頻率泄漏？

諧波分析一段采集時(shí)間較長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，需要將數(shù)據(jù)切成一幀幀進(jìn)行分析，這個(gè)過程稱為信號(hào)截?cái)唷Ｐ盘?hào)截?cái)喾譃橹芷诮財(cái)嗪头侵芷诮財(cái)?。這一點(diǎn)還是比較好理解，就是在數(shù)據(jù)切成一幀幀的時(shí)候，每幀數(shù)據(jù)是否為周期信號(hào)進(jìn)而判斷是哪種類型截?cái)?。如圖3顯示。

圖3 信號(hào)截?cái)?

周期截?cái)嗖淮嬖谥C波泄漏，這是因?yàn)樾盘?hào)頻率成分為頻率分辨率的整數(shù)倍。非周期截?cái)嗳鐖D所示，由于重新組成數(shù)據(jù)進(jìn)行諧波分析幅值出現(xiàn)拖尾，即會(huì)造成如圖3-2頻譜圖的現(xiàn)象，所以信號(hào)的非周期截?cái)?，?dǎo)致頻譜在整個(gè)頻帶內(nèi)發(fā)生了拖尾現(xiàn)象，由于能力守恒最終導(dǎo)致幅值比原來(lái)的低，這就是幅值泄漏。

柵欄效應(yīng)

柵欄效應(yīng)指的是離散傅立葉變化過程的頻譜被限制在基頻整數(shù)倍處，猶如柵欄一樣關(guān)注的頻率主要分布在木塊之間，如圖4所示。

圖4 柵欄效應(yīng)

窗函數(shù)及類型

前面已經(jīng)了解泄漏問題，我們可以通過加合適的窗函數(shù)來(lái)盡可能減少頻譜拖尾的現(xiàn)象，那么什么是窗函數(shù)呢？簡(jiǎn)單理解就是不同的信號(hào)截?cái)嗪瘮?shù)如圖5所示，常見的窗函數(shù)有以下幾種：

圖5 窗函數(shù)類型

矩形窗相當(dāng)為沒加窗，常用于周期信號(hào)；信號(hào)隨機(jī)或未知，或者多個(gè)頻率分量，測(cè)試關(guān)注是頻率而非能量大小，則選擇漢寧窗；對(duì)校準(zhǔn)目的，要求幅值精準(zhǔn)，適用平頂窗；如果要求幅值頻率的精度，則選擇凱塞窗；檢測(cè)兩信號(hào)頻率相近，幅值不同的，建議用布萊克曼窗。

加窗后幅值和頻率修正

通過前面已經(jīng)了解加窗函數(shù)可減少泄漏現(xiàn)象，但頻率柵欄效應(yīng)沒得到修復(fù)，加窗后幅值泄漏現(xiàn)象也只得到緩解，那么可以通過插值算法來(lái)得到一個(gè)準(zhǔn)確的幅值和頻率。算法原理是各個(gè)頻率成分主瓣形狀將近似窗函數(shù)頻譜的主瓣形狀，如果這形狀可以用某個(gè)函數(shù)來(lái)描述，則可利用主峰兩側(cè)的譜線通過插值計(jì)算出主峰的高度，從而克服柵欄效應(yīng)。具體的推導(dǎo)可查看《Hanning窗在插值FFT算法中應(yīng)用的研究》這一文獻(xiàn)。